Вероятность и статистика 7-9 классы

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
В современном цифровом мире вероятность и статистика приобретают
всё большую значимость, как с точки зрения практических приложений, так
и их роли в образовании, необходимом каждому человеку. Возрастает число
профессий, при овладении которыми требуется хорошая базовая подготовка
в области вероятности и статистики, такая подготовка важна для
продолжения образования и для успешной профессиональной карьеры.
Каждый человек постоянно принимает решения на основе имеющихся у
него данных. А для обоснованного принятия решения в условиях недостатка
или избытка информации необходимо в том числе хорошо сформированное
вероятностное и статистическое мышление.
Именно поэтому остро встала необходимость сформировать у
обучающихся функциональную грамотность, включающую в себя в качестве
неотъемлемой составляющей умение воспринимать и критически
анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать
вероятностный характер многих реальных процессов и зависимостей,
производить простейшие вероятностные расчёты.
Знакомство в учебном курсе с основными принципами сбора, анализа и
представления данных из различных сфер жизни общества и государства
приобщает обучающихся к общественным интересам. Изучение основ
комбинаторики развивает навыки организации перебора и подсчёта числа
вариантов, в том числе в прикладных задачах. Знакомство с основами теории
графов создаёт математический фундамент для формирования компетенций в
области информатики и цифровых технологий. При изучении статистики и
вероятности обогащаются представления обучающихся о современной
картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли
статистики как источника социально значимой информации и закладываются
основы вероятностного мышления.
В соответствии с данными целями в структуре программы учебного
курса «Вероятность и статистика» основного общего образования выделены
следующие содержательно-методические линии: «Представление данных и
описательная статистика», «Вероятность», «Элементы комбинаторики»,
«Введение в теорию графов».
Содержание линии «Представление данных и описательная статистика»
служит основой для формирования навыков работы с информацией: от
чтения и интерпретации информации, представленной в таблицах, на
диаграммах и графиках, до сбора, представления и анализа данных с
использованием статистических характеристик средних и рассеивания.
Работая с данными, обучающиеся учатся считывать и интерпретировать

данные, выдвигать, аргументировать и критиковать простейшие гипотезы,
размышлять над факторами, вызывающими изменчивость, и оценивать их
влияние на рассматриваемые величины и процессы.
Интуитивное представление о случайной изменчивости, исследование
закономерностей и тенденций становится мотивирующей основой для
изучения теории вероятностей. Большое значение имеют практические
задания, в частности опыты с классическими вероятностными моделями.
Понятие вероятности вводится как мера правдоподобия случайного
события. При изучении учебного курса обучающиеся знакомятся с
простейшими
методами
вычисления
вероятностей
в
случайных
экспериментах
с
равновозможными
элементарными
исходами,
вероятностными законами, позволяющими ставить и решать более сложные
задачи. В учебный курс входят начальные представления о случайных
величинах и их числовых характеристиках.
В рамках учебного курса осуществляется знакомство обучающихся с
множествами и основными операциями над множествами, рассматриваются
примеры применения для решения задач, а также использования в других
математических курсах и учебных предметах.
В 7–9 классах изучается учебный курс «Вероятность и статистика», в
который входят разделы: «Представление данных и описательная
статистика», «Вероятность», «Элементы комбинаторики», «Введение в
теорию графов».
Образовательная программа ориентирована на развитие гармонично
развитой личности, сочетающей в себе интеллектуальные и нравственные
качества, способной адаптироваться к современным условиям и достигать
успеха в различных областях. Воспитательная составляющая программы
включает в себя мероприятия, направленные на формирование нравственных
ценностей, патриотизма, уважения к культурным и историческим традициям,
а также развитие активной гражданской позиции.
В ходе освоения программы обучающиеся приобретают знания и
навыки, необходимые для успешной самореализации в современном
обществе. Особое внимание уделяется развитию таких качеств, как
ответственность, самостоятельность, креативность, умение работать в
команде и эффективно решать задачи. Через систему воспитательных
мероприятий обучающиеся знакомятся с культурным и историческим
наследием страны, осознают важность сохранения национальной
идентичности и традиций.

На изучение учебного курса «Вероятность и статистика» отводится 102
часа: в 7 классе – 34 часа (1 час в неделю), в 8 классе – 34 часа (1 час в
неделю), в 9 классе – 34 часа (1 час в неделю).

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
7 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Заполнение
таблиц, чтение и построение диаграмм (столбиковых (столбчатых) и
круговых). Чтение графиков реальных процессов. Извлечение информации из
диаграмм и таблиц, использование и интерпретация данных.
Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах,
наибольшее и наименьшее значения набора числовых данных. Примеры
случайной изменчивости.
Случайный эксперимент (опыт) и случайное событие. Вероятность и
частота. Роль маловероятных и практически достоверных событий в природе
и в обществе. Монета и игральная кость в теории вероятностей.
Граф, вершина, ребро. Степень вершины. Число рёбер и суммарная
степень вершин. Представление о связности графа. Цепи и циклы. Пути в
графах. Обход графа (эйлеров путь). Представление об ориентированном
графе. Решение задач с помощью графов.
8 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Множество, элемент множества, подмножество. Операции над
множествами: объединение, пересечение, дополнение. Свойства операций
над множествами: переместительное, сочетательное, распределительное,
включения. Использование графического представления множеств для
описания реальных процессов и явлений, при решении задач.
Измерение рассеивания данных. Дисперсия и стандартное отклонение
числовых наборов. Диаграмма рассеивания.
Элементарные события случайного опыта. Случайные события.
Вероятности событий. Опыты с равновозможными элементарными
событиями. Случайный выбор. Связь между маловероятными и практически
достоверными событиями в природе, обществе и науке.
Дерево. Свойства деревьев: единственность пути, существование
висячей вершины, связь между числом вершин и числом рёбер. Правило
умножения. Решение задач с помощью графов.
Противоположные события. Диаграмма Эйлера. Объединение и
пересечение событий. Несовместные события. Формула сложения
вероятностей. Условная вероятность. Правило умножения. Независимые
события. Представление эксперимента в виде дерева. Решение задач на

нахождение вероятностей с помощью дерева случайного эксперимента,
диаграмм Эйлера.
9 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков,
интерпретация данных. Чтение и построение таблиц, диаграмм, графиков по
реальным данным.
Перестановки и факториал. Сочетания и число сочетаний. Треугольник
Паскаля. Решение задач с использованием комбинаторики.
Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на
плоскости, из отрезка и из дуги окружности.
Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха.
Серия испытаний Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний
Бернулли.
Случайная величина и распределение вероятностей. Математическое
ожидание и дисперсия. Примеры математического ожидания как
теоретического среднего значения величины. Математическое ожидание и
дисперсия случайной величины «число успехов в серии испытаний
Бернулли».
Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей с помощью
частот. Роль и значение закона больших чисел в природе и обществе.

ПЛАНИРУЕМЫЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ
ОСВОЕНИЯ
ПРОГРАММЫ
УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА» НА
УРОВНЕ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы учебного курса
«Вероятность и статистика» характеризуются:
1) патриотическое воспитание:
проявлением интереса к прошлому и настоящему российской
математики, ценностным отношением к достижениям российских
математиков и российской математической школы, к использованию этих
достижений в других науках и прикладных сферах;
2) гражданское и духовно-нравственное воспитание:
готовностью к выполнению обязанностей гражданина и реализации его
прав, представлением о математических основах функционирования
различных структур, явлений, процедур гражданского общества (например,
выборы, опросы), готовностью к обсуждению этических проблем, связанных
с практическим применением достижений науки, осознанием важности
морально-этических принципов в деятельности учёного;
3) трудовое воспитание:
установкой на активное участие в решении практических задач
математической направленности, осознанием важности математического
образования на протяжении всей жизни для успешной профессиональной
деятельности и развитием необходимых умений, осознанным выбором и
построением индивидуальной траектории образования и жизненных планов с
учётом личных интересов и общественных потребностей;
4) эстетическое воспитание:
способностью к эмоциональному и эстетическому восприятию
математических объектов, задач, решений, рассуждений, умению видеть
математические закономерности в искусстве;
5) ценности научного познания:
ориентацией в деятельности на современную систему научных
представлений об основных закономерностях развития человека, природы и
общества, пониманием математической науки как сферы человеческой
деятельности, этапов её развития и значимости для развития цивилизации,
овладением языком математики и математической культурой как средством
познания мира, овладением простейшими навыками исследовательской
деятельности;

6) физическое воспитание, формирование культуры здоровья и
эмоционального благополучия:
готовностью применять математические знания в интересах своего
здоровья, ведения здорового образа жизни (здоровое питание,
сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая
активность), сформированностью навыка рефлексии, признанием своего
права на ошибку и такого же права другого человека;
7) экологическое воспитание:
ориентацией на применение математических знаний для решения задач
в области сохранности окружающей среды, планирования поступков и
оценки их возможных последствий для окружающей среды, осознанием
глобального характера экологических проблем и путей их решения;
8) адаптация к изменяющимся условиям социальной и природной
среды:
готовностью к действиям в условиях неопределённости, повышению
уровня своей компетентности через практическую деятельность, в том числе
умение учиться у других людей, приобретать в совместной деятельности
новые знания, навыки и компетенции из опыта других;
необходимостью в формировании новых знаний, в том числе
формулировать идеи, понятия, гипотезы об объектах и явлениях, в том числе
ранее неизвестных, осознавать дефициты собственных знаний и
компетентностей, планировать своё развитие;
способностью осознавать стрессовую ситуацию, воспринимать
стрессовую ситуацию как вызов, требующий контрмер, корректировать
принимаемые решения и действия, формулировать и оценивать риски и
последствия, формировать опыт.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
 выявлять и характеризовать существенные признаки математических
объектов, понятий, отношений между понятиями, формулировать
определения понятий, устанавливать существенный признак
классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии
проводимого анализа;
 воспринимать,
формулировать и преобразовывать суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие,
условные;

выявлять
математические
закономерности,
взаимосвязи
и
противоречия в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях,
предлагать критерии для выявления закономерностей и противоречий;
 делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и
индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
 разбирать доказательства математических утверждений (прямые и от
противного), проводить самостоятельно несложные доказательства
математических фактов, выстраивать аргументацию, приводить
примеры и контрпримеры, обосновывать собственные рассуждения;
 выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько
вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом
самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
 использовать вопросы как исследовательский инструмент познания,
формулировать вопросы, фиксирующие противоречие, проблему,
самостоятельно устанавливать искомое и данное, формировать
гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
 проводить по самостоятельно составленному плану несложный
эксперимент, небольшое исследование по установлению особенностей
математического объекта, зависимостей объектов между собой;
 самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведённого наблюдения, исследования, оценивать достоверность
полученных результатов, выводов и обобщений;
 прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать
предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
 выявлять недостаточность и избыточность информации, данных,
необходимых для решения задачи;
 выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать
информацию различных видов и форм представления;
 выбирать форму представления информации и иллюстрировать
решаемые задачи схемами, диаграммами, иной графикой и их
комбинациями;
 оценивать надёжность информации по критериям, предложенным
учителем или сформулированным самостоятельно.
Коммуникативные универсальные учебные действия:
 воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями
и целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения









в устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения
задачи, комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы,
проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск
решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других
участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в
корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
представлять
результаты
решения
задачи,
эксперимента,
исследования, проекта, самостоятельно выбирать формат выступления
с учётом задач презентации и особенностей аудитории;
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной
работы при решении учебных математических задач;
принимать цель совместной деятельности, планировать организацию
совместной работы, распределять виды работ, договариваться,
обсуждать процесс и результат работы, обобщать мнения нескольких
людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен
мнениями, мозговые штурмы и другие), выполнять свою часть работы
и координировать свои действия с другими членами команды,
оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям,
сформулированным участниками взаимодействия.

Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
 самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его
часть), выбирать способ решения с учётом имеющихся ресурсов и
собственных возможностей, аргументировать и корректировать
варианты решений с учётом новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
 владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата
решения математической задачи;
 предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи,
вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств,
найденных ошибок, выявленных трудностей;
 оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и
условиям, объяснять причины достижения или недостижения цели,
находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту.

ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу обучения в 7 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты:
Читать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах,
представлять данные в виде таблиц, строить диаграммы (столбиковые
(столбчатые) и круговые) по массивам значений.
Описывать и интерпретировать реальные числовые данные,
представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.
Использовать для описания данных статистические характеристики:
среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения,
размах.
Иметь представление о случайной изменчивости на примерах цен,
физических величин, антропометрических данных, иметь представление о
статистической устойчивости.
К концу обучения в 8 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты:
Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде
таблиц, диаграмм, графиков, представлять данные в виде таблиц, диаграмм,
графиков.
Описывать данные с помощью статистических показателей: средних
значений и мер рассеивания (размах, дисперсия и стандартное отклонение).
Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том числе
по результатам измерений и наблюдений.
Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности
элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными
элементарными событиями.
Использовать графические модели: дерево случайного эксперимента,
диаграммы Эйлера, числовая прямая.
Оперировать понятиями: множество, подмножество, выполнять
операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение,
перечислять элементы множеств, применять свойства множеств.
Использовать графическое представление множеств и связей между
ними для описания процессов и явлений, в том числе при решении задач из
других учебных предметов и курсов.
К концу обучения в 9 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты:

Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в
различных источниках в виде таблиц, диаграмм, графиков, представлять
данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Решать задачи организованным перебором вариантов, а также с
использованием комбинаторных правил и методов.
Использовать описательные характеристики для массивов числовых
данных, в том числе средние значения и меры рассеивания.
Находить частоты значений и частоты события, в том числе пользуясь
результатами проведённых измерений и наблюдений.
Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том
числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, в сериях
испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли.
Иметь представление о случайной величине и о распределении
вероятностей.
Иметь представление о законе больших чисел как о проявлении
закономерности в случайной изменчивости и о роли закона больших чисел в
природе и обществе.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
7 КЛАСС
Количество часов
№ п/п

Наименование разделов и тем
программы

Всего

Контрольные
работы

Практические
работы

Представление данных

Описательная статистика

Случайная изменчивость

Введение в теорию графов

Вероятность и частота случайного
события

Обобщение, систематизация знаний

ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ

Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc
1

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

8 КЛАСС
Количество часов
№ п/п

Наименование разделов и тем
программы

Всего

Контрольные
работы

Библиотека ЦОК

Повторение курса 7 класса

Описательная статистика. Рассеивание
данных

Множества

Введение в теорию графов

Вероятность случайного события

Случайные события

Обобщение, систематизация знаний

ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ

Практические
работы

Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы

https://m.edsoo.ru/7f417fb2

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f417fb2

9 КЛАСС
Количество часов
№ п/п

Наименование разделов и тем
программы

Всего

Контрольные
работы

Библиотека ЦОК

Повторение курса 8 класса

Элементы комбинаторики

Геометрическая вероятность

Испытания Бернулли

Случайная величина

Обобщение, контроль

ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ

Практические
работы

Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы

https://m.edsoo.ru/7f41a302

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f41a302

ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
7 класс
Модуль 1. Представление данных
Тема 1. Таблицы данных
1. Представление данных в таблицах
2. Практические вычисления по табличным данным
3. Извлечение и интерпретация табличных данных
4. Практическая работа по теме "Таблицы"
Тема 2. Диаграммы
5. Графическое представление данных
6. Чтение и построение диаграмм
7. Практическая работа по теме "Диаграммы"
Модуль 2. Описательная статистика
Тема 3. Средние значения
8. Числовые наборы. Среднее арифметическое
9. Числовые наборы. Среднее арифметическое
10. Медиана числового набора
11. Устойчивость медианы
12. Практическая работа по теме "Средние значения"
Тема 4. Размах выборки
13. Наибольшее и наименьшее значения числового набора
14. Размах числового набора
15. Вычисление различных характеристик числового набора
16. Вычисление различных характеристик числового набора
Модуль 3. Случайная изменчивость
Тема 5. Группировка
17. Случайная изменчивость. Примеры
18. Частота значений в массиве данных
19. Группировка данных

Тема 6. Графическое представление
данных
20. Гистограммы
21. Гистограммы
22. Практическая работа по теме "Случайная изменчивость"
Модуль 4. Введение в теорию графов
Тема 7. Введение в теорию графов
23. Основные понятия теории графов
24. Степень вершины. Число ребер и суммарная степень вершин
25. Цепь и цикл. Представление о связности графа
26. Представление об ориентированных графах
Модуль 5. Вероятность и частота
случайного события
Тема 8. Вероятность и частота
случайного события
27. Случайный опыт и случайное событие
28. Вероятность и частота события
29. Монета и игральная кость в ТВ
30. Практическая работа по теме "Частота выпадения орла"
Модуль 6. Повторение
Тема 9. Повторение
31. Повторение, обобщение. Представление данных
32. Повторение, обобщение. Описательная статистика
33. Итоговая контрольная работа
34. Анализ результатов контрольной работы

8 класс
Модуль 1. Повторение курса 7
класса
Тема 1.Статистические
характеристики
1. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков
2. Числовые наборы. Среднее арифметическое. Медиана. Размах.
3. Числовые наборы. Среднее арифметическое. Медиана. Размах.
Модуль 2. Описательная
статистика.
Тема 2. Рассеивание данных
4. Отклонения
5. Дисперсия числового набора. Стандартное отклонение
числового набора
6. Диаграммы рассеивания
7. Обработка данных
8. Практическая работа "Сбор данных, их обработка"
Модуль 3. Множества
Тема 3. Множества. Операции
над множествами
9. Понятие множества. Виды множеств
10. Графическое представление множеств
11. Операции над множествами
12. Свойства операций над множествами
13. Решение задач
Модуль 4. Введение в теорию
графов
Тема 4. Граф и его элементы.
Виды графов
14. Граф, вершина, ребро. Степень вершины

15. Цепь и цикл. Путь в графе. Представление о связности графа
Тема 5. Дерево
16. Дерево
17. Свойства дерева: единственность пути, существование
висячей вершины, связь между числом вершин и числом рёбер
18. Свойства дерева: единственность пути, существование
висячей вершины, связь между числом вершин и числом рёбер
19. Решение задач
Модуль 5. Вероятность
случайного события
Тема 6. Элементарные события.
Случайные события
20. Элементарные события. Случайный опыт. Случайные
события. Частота события
21. Благоприятствующие элементарные события. Вероятности
событий
22. Благоприятствующие элементарные события. Вероятности
событий
23. Опыты с равновозможными элементарными событиями.
Случайный выбор
24. Опыты с равновозможными элементарными событиями.
Случайный выбор
25. Практическая работа "Опыты с равновозможными
элементарными событиями"
Модуль 6. Случайные события
Тема 7. События.
26. Понятие случайного события. Противоположные события
27. Объединение и пересечение событий
Тема 8. Теоремы сложения и
умножения вероятностей
28. Несовместные события. Формула сложения вероятностей
29. Правило умножения вероятностей. Условная вероятность.

Независимые события
30. Представление случайного эксперимента в виде дерева
Модуль 7. Обобщение,
систематизация знаний
Тема 9. Обобщение,
систематизация знаний
31. Повторение, обобщение. Представление данных.
Описательная статистика
32. Повторение, обобщение. Графы. Вероятность события
33. Итоговая контрольная работа
34. Анализ результатов контрольной работы

9 класс
Модуль 1. Повторение
Тема 1. Представление данных
1. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков
2. Чтение и интерпретация данных таблиц, диаграмм, графиков
Тема 2.Независимые события
3. Операции над событиями
4. Независимость событий
Модуль 2. Элементы
комбинаторики
Тема 3. Правила и формулы
комбинаторики
5. Правила сложения и умножения
6. Перестановки. Факториал
7. Сочетания и треугольник Паскаля
8. Практическая работа "Вычисление вероятностей с
использованием формул и правил комбинаторики"
Модуль 3. Геометрическая
вероятность
Тема 4. Геометрическая
вероятность
9. Выбор точки из фигуры на плоскости
10. Выбор точки из отрезка и дуги окружности
11. Решение задач на вычисление геометрической вероятности
12. Решение задач на вычисление геометрической вероятности
Модуль 4. Испытания Бернулли
Тема 5. Испытания Бернулли
13. Успех и неудача. Испытание до первого успеха
14. Успех и неудача. Испытание до первого успеха
15. Серия испытаний Бернулли
16. Число успехов в испытаниях Бернулли

17. Вероятность событий в испытаниях Бернулли
18. Практическая работа "Испытания Бернулли"
Модуль 5. Случайная величина
Тема 6. Случайная величина
19. Примеры случайных величин
20. Распределение вероятнотстей случайной величины
21.Математическое ожидание случайной величины
22. Дисперсия и стандартное отклонение
Тема 7. Закон больших чисел
23. Понятие о законе больших чисел
24. Применение закона больших чисел
Модуль 6. Повторение
Тема 8. Повторение
25. Представление данных
26. Описательная статистика
27. Описательная статистика
28. Элементы комбинаторики
29. Вероятность случайного события
30. Вычисление вероятностей событий
31. Вычисление вероятностей событий
32. Итоговая контрольная работа
33. Анализ результатов контрольной работы
34. Обобщение и систематизация знаний

ПРОВЕРЯЕМЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
7 класс
Код
проверяемого
результата
5

Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы основного общего образования
Вероятность и статистика

5.1

Читать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах,
представлять данные в виде таблиц, строить диаграммы (столбиковые
(столбчатые) и круговые) по массивам значений

5.2

Описывать и интерпретировать реальные числовые
представленные в таблицах, на диаграммах, графиках

5.3

Использовать для описания данных статистические характеристики:
среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее
значения, размах

5.4

Иметь представление о случайной изменчивости на примерах цен,
физических
величин,
антропометрических
данных,
иметь
представление о статистической устойчивости

данные,

8 класс
Код
проверяемого
результата
5

5.1

Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде
таблиц, диаграмм, графиков, представлять данные в виде таблиц,
диаграмм, графиков

5.2

Описывать данные с помощью статистических показателей: средних
значений и мер рассеивания (размах, дисперсия и стандартное
отклонение)

5.3

Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том числе
по результатам измерений и наблюдений

5.4

Находить вероятности случайных событий в опытах, зная
вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с
равновозможными элементарными событиями

5.5

Использовать графические модели: дерево случайного эксперимента,
диаграммы Эйлера, числовая прямая

5.6

Оперировать понятиями: множество, подмножество; выполнять

операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение;
перечислять элементы множеств, применять свойства множеств
5.7

Использовать графическое представление множеств и связей между
ними для описания процессов и явлений, в том числе при решении
задач из других учебных предметов и курсов

9 класс
Код
проверяемого
результата
5

5.1

Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в
различных источниках в виде таблиц, диаграмм, графиков,
представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков

5.2

Решать задачи организованным перебором вариантов, а также с
использованием комбинаторных правил и методов

5.3

Использовать описательные характеристики для массивов числовых
данных, в том числе средние значения и меры рассеивания

5.4

Находить частоты значений и частоты события, в том числе
пользуясь результатами проведенных измерений и наблюдений

5.5

Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том
числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, в
сериях испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли

5.6

Иметь представление о случайной величине и о распределении
вероятностей

5.7

Иметь представление о законе больших чисел как о проявлении
закономерности в случайной изменчивости и о роли закона больших
чисел в природе и обществе

ПРОВЕРЯЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ
7 класс
Код
5

Проверяемый элемент содержания
Вероятность и статистика

5.1

Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Заполнение
таблиц, чтение и построение диаграмм (столбиковых (столбчатых) и
круговых). Чтение графиков реальных процессов. Извлечение информации
из диаграмм и таблиц, использование и интерпретация данных

5.2

Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах,
наибольшее и наименьшее значения набора числовых данных. Примеры
случайной изменчивости

5.3

Случайный эксперимент (опыт) и случайное событие. Вероятность и
частота. Роль маловероятных и практически достоверных событий в
природе и в обществе. Монета и игральная кость в теории вероятностей

5.4

Граф, вершина, ребро. Степень вершины. Число ребер и суммарная степень
вершин. Представление о связности графа. Цепи и циклы. Пути в графах.
Обход графа (эйлеров путь). Представление об ориентированном графе.
Решение задач с помощью графов

8 класс
Код
5

Проверяемый элемент содержания
Вероятность и статистика

5.1

Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков

5.2

Множество, элемент множества, подмножество.
множествами: объединение, пересечение, дополнение

5.3

Свойства операций над множествами: переместительное, сочетательное,
распределительное, включения

5.4

Использование графического представления множеств для описания
реальных процессов и явлений, при решении задач.

5.5

Измерение рассеивания данных. Дисперсия и стандартное отклонение
числовых наборов. Диаграмма рассеивания

5.6

Элементарные события случайного опыта. Случайные события.
Вероятности событий. Опыты с равновозможными элементарными
событиями. Случайный выбор. Связь между маловероятными и
практически достоверными событиями в природе, обществе и науке

5.7

Дерево. Свойства деревьев: единственность пути, существование висячей
вершины, связь между числом вершин и числом ребер. Правило
умножения. Решение задач с помощью графов

Операции

над

5.8

Противоположные события. Диаграмма Эйлера. Объединение и
пересечение событий. Несовместные события. Формула сложения
вероятностей

5.9

Условная вероятность. Правило умножения. Независимые события

5.10

Представление эксперимента в виде дерева. Решение задач на нахождение
вероятностей с помощью дерева случайного эксперимента, диаграмм
Эйлера

9 класс
Код
5

Проверяемый элемент содержания
Вероятность и статистика

5.1

Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков, интерпретация
данных. Чтение и построение таблиц, диаграмм, графиков по реальным
данным

5.2

Перестановки и факториал

5.3

Сочетания и число сочетаний

5.4

Треугольник Паскаля. Решение задач с использованием комбинаторики

5.5

Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на
плоскости, из отрезка и из дуги окружности

5.6

Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха

5.7

Серия испытаний Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний
Бернулли

5.8

Случайная величина и распределение вероятностей

5.9

Математическое ожидание и дисперсия. Примеры математического
ожидания как теоретического среднего значения величины

5.10

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины "число
успехов в серии испытаний Бернулли"

5.11

Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей с помощью
частот. Роль и значение закона больших чисел в природе и обществе

ПРОВЕРЯЕМЫЕ НА ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ТРЕБОВАНИЯ К
РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Код
Проверяемые требования к предметным результатам освоения
проверяемого основной образовательной программы основного общего образования
требования
на основе ФГОС
1

Умение оперировать понятиями: множество, подмножество, операции
над множествами; умение оперировать понятиями: граф, связный
граф, дерево, цикл, применять их при решении задач; умение
использовать графическое представление множеств для описания
реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных
предметов

Умение оперировать понятиями: определение, аксиома, теорема,
доказательство; умение распознавать истинные и ложные
высказывания, приводить примеры и контрпримеры, строить
высказывания и отрицания высказываний

Умение оперировать понятиями: натуральное число, простое и
составное число, делимость натуральных чисел, признаки делимости,
целое число, модуль числа, обыкновенная дробь и десятичная дробь,
стандартный вид числа, рациональное число, иррациональное число,
арифметический квадратный корень; умение выполнять действия с
числами, сравнивать и упорядочивать числа, представлять числа на
координатной прямой, округлять числа; умение делать прикидку и
оценку результата вычислений

Умение оперировать понятиями: степень с целым показателем,
арифметический квадратный корень, многочлен, алгебраическая
дробь, тождество; знакомство с корнем натуральной степени больше
единицы; умение выполнять расчеты по формулам, преобразования
целых, дробно-рациональных выражений и выражений с корнями,
разложение многочлена на множители, в том числе с использованием
формул разности квадратов и квадрата суммы и разности

Умение оперировать понятиями: числовое равенство, уравнение с
одной переменной, числовое неравенство, неравенство с переменной;
умение решать линейные и квадратные уравнения, дробнорациональные уравнения с одной переменной, системы двух
линейных уравнений, линейные неравенства и их системы,
квадратные и дробно-рациональные неравенства с одной переменной,
в том числе при решении задач из других предметов и практических
задач; умение использовать координатную прямую и координатную
плоскость для изображения решений уравнений, неравенств и систем

Умение оперировать понятиями: функция, график функции, нули
функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания,
убывания, наибольшее и наименьшее значения функции; умение
оперировать понятиями: прямая пропорциональность, линейная

функция, квадратичная функция, обратная пропорциональность,
парабола, гипербола; умение строить графики функций, использовать
графики для определения свойств процессов и зависимостей, для
решения задач из других учебных предметов и реальной жизни;
умение выражать формулами зависимости между величинами
7

Умение
оперировать
понятиями:
последовательность,
арифметическая и геометрическая прогрессии; умение использовать
свойства последовательностей, формулы суммы и общего члена при
решении задач, в том числе задач из других учебных предметов и
реальной жизни

Умение решать задачи разных типов (в том числе на проценты, доли
и части, движение, работу, цену товаров и стоимость покупок и услуг,
налоги, задачи из области управления личными и семейными
финансами); умение составлять выражения, уравнения, неравенства и
системы по условию задачи, исследовать полученное решение и
оценивать правдоподобность полученных результатов

Умение оперировать понятиями: фигура, точка, отрезок, прямая, луч,
ломаная, угол, многоугольник, треугольник, равнобедренный и
равносторонний треугольники, прямоугольный треугольник, медиана,
биссектриса
и
высота
треугольника,
четырехугольник,
параллелограмм,
ромб,
прямоугольник,
квадрат,
трапеция;
окружность, круг, касательная; знакомство с пространственными
фигурами; умение решать задачи, в том числе из повседневной
жизни, на нахождение геометрических величин с применением
изученных свойств фигур и фактов

Умение оперировать понятиями: равенство фигур, равенство
треугольников; параллельность и перпендикулярность прямых, угол
между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция, подобие
фигур, подобные треугольники, симметрия относительно точки и
прямой; умение распознавать равенство, симметрию и подобие
фигур, параллельность и перпендикулярность прямых в окружающем
мире

Умение оперировать понятиями: длина, расстояние, угол (величина
угла, синус и косинус угла треугольника), площадь; умение оценивать
размеры предметов и объектов в окружающем мире; умение
применять формулы периметра и площади многоугольников, длины
окружности
и
площади
круга,
объема
прямоугольного
параллелепипеда;
умение
применять
признаки
равенства
треугольников, теорему о сумме углов треугольника, теорему
Пифагора, тригонометрические соотношения для вычисления длин,
расстояний, площадей

Умение изображать плоские фигуры
пространственные фигуры от руки, с
инструментов и электронных средств
символьному описанию

и их комбинации,
помощью чертежных
по текстовому или

Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат;
координаты точки, вектор, сумма векторов, произведение вектора на
число, скалярное произведение векторов; умение использовать
векторы и координаты для представления данных и решения задач, в
том числе из других учебных предметов и реальной жизни

Умение оперировать понятиями: столбиковые и круговые диаграммы,
таблицы, среднее арифметическое, медиана, наибольшее и
наименьшее значения, размах числового набора; умение извлекать,
интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в
таблицах и на диаграммах, отражающую свойства и характеристики
реальных процессов и явлений; умение распознавать изменчивые
величины в окружающем мире

Умение оперировать понятиями: случайный опыт (случайный
эксперимент), элементарное событие (элементарный исход)
случайного опыта, случайное событие, вероятность события; умение
находить вероятности случайных событий в опытах с
равновозможными элементарными событиями; умение решать задачи
методом организованного перебора и с использованием правила
умножения; умение оценивать вероятности реальных событий и
явлений, понимать роль практически достоверных и маловероятных
событий в окружающем мире и в жизни; знакомство с понятием
независимых событий; знакомство с законом больших чисел и его
ролью в массовых явлениях

Умение выбирать подходящий изученный метод для решения задачи,
приводить примеры математических закономерностей в природе и
жизни, распознавать проявление законов математики в искусстве,
описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе
развития математики как науки, приводить примеры математических
открытий и их авторов в отечественной и всемирной истории

ПЕРЕЧЕНЬ ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ, ПРОВЕРЯЕМЫХ НА ОГЭ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Код
1

Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления

1.1

Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел

1.2

Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические
дроби

1.3

Рациональные числа. Арифметические операции с рациональными числами

1.4

Действительные числа. Арифметические операции с действительными
числами

1.5

Приближенные вычисления, правила округления, прикидка и оценка
результата вычислений

Алгебраические выражения

2.1

Буквенные выражения (выражения с переменными)

2.2

Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем.
Свойства степени

2.3

Многочлены

2.4

Алгебраическая дробь

2.5

Арифметический
корень
натуральной
степени.
арифметическими корнями натуральной степени

Действия

Уравнения и неравенства

3.1

Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности
уравнений

3.2

Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности
неравенств

3.3

Решение текстовых задач

Числовые последовательности

4.1

Последовательности, способы задания последовательностей

4.2

Арифметическая
процентов

Функции

5.1.

Функция,

способы

геометрическая

задания

прогрессии.

функции.

График

Формула

сложных

функции.

Область

определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки
знакопостоянства. Промежутки монотонности функции. Максимумы и
минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на
промежутке
6

Координаты на прямой и плоскости

6.1

Координатная прямая

6.2

Декартовы координаты на плоскости

Геометрия

7.1

Геометрические фигуры и их свойства

7.2

Треугольник

7.3

Многоугольники

7.4

Окружность и круг

7.5

Измерение геометрических величин

7.6

Векторы на плоскости

Вероятность и статистика

8.1

Описательная статистика

8.2

Вероятность

8.3

Комбинаторика

8.4

Множества

8.5

Графы
";

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧЕНИКА
1. Высоцкий Иван Ростиславович. Математика. Вероятность и статистика:
7-9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях/И.Р.Высоцкий,
И.В.Ященко; под ред. И.В Ященко: 3-е изд., стер. - Москва: Просвещение,
2025

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
1. Высоцкий Иван Ростиславович. Математика. Вероятность и статистика:
7-9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях/И.Р.Высоцкий,
И.В.Ященко; под ред. И.В Ященко. - Москва: Просвещение, 2023
2. Высоцкий И.Р. Математика. Универсальный многоуровневый сборник
задач. 7 - 9-е классы. Учебное пособие для общеобр. организаций. В 3
частях. Часть 3. Статистика. Вероятность. Комбинаторика. Практические
задачи/ И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко. - Москва: Просвещение, 2020
ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕСУРСЫ СЕТИ
ИНТЕРНЕТ
1. https://uchi.ru
2. https://m.edsoo.ru/863ec1f8

Приложение 1
к основной образовательной программе
основного общего образования
МАОУ СОШ № 8
ПРОМЕЖУТОЧНАЯ АТТЕСТАЦИЯ
7 класс
При выполнении заданий приведите полное решение.

1. Рассмотрите ряд чисел: 25, 21, 33, 28, 22, 23, 32, 32, 24.
Найдите размах, медиану и среднее арифметическое данного ряда.
2. На диаграмме представлена информация о
покупках, сделанных в интернет-магазинах
некоторого города в выходные дни. Всего за
выходные было совершено 200 000 покупок.
Определите по диаграмме, сколько примерно
покупок относится к категории «Товары для
дома».
3. Родительский комитет закупил 15 пазлов для подарков детям в связи с
окончанием учебного года, из них 12 с машинами и 3 с видами городов.
Подарки распределяются случайным образом между 15 детьми, среди
которых есть Миша. Найдите вероятность того, что Мише достанется пазл с
машиной.
4. На столбиковой диаграмме показано производство пшеницы в России с
1995 по 2001 год (млн тонн).
По диаграмме определите:
а) В каком году производство пшеницы было
меньше 30 млн т?
б) Какие три года из данных в таблице были
наименее урожайными?
в) В каком году наблюдалось падение
производства пшеницы в России по
сравнению с предыдущим годом?
5. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К.
По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном
стрелкой. Сколько существует различных путей из пункта А в пункт Л, не
проходящих через пункт Е?

8 класс
При выполнении заданий приведите полное решение.
1. Изобразите в тетради диаграмму Эйлера для трех множеств А, В, С и

укажите на
ней множество:
̅ ∩ В) ∩ С
а) А ∩ ̅̅̅̅̅̅̅
В ∩ С;
б)(А
2. В отряде из 40 ребят 30 умеют плавать, 27 умеют играть в шахматы, 5 не
умеют ни плавать, ни играть в шахматы. Определите количество ребят,
умеющих плавать и играть в шахматы.
3. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З,
И. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении,
указанном стрелкой. Сколько существует различных путей, ведущих из
города А в город И, проходящих через город В?

4. На экзамене 25 билетов, Сергей выучил 21 из них. Найдите вероятность
того, чтоему попадётся невыученный билет.
5. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 9 черных, 4
желтых и7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно
оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к
нему приедет черное такси.
6. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой
распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероятность того, что
команда России попадает в группу С?
7. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика
(правильной кости) выпадет четное число очков.
8. Найти размах, медиану, среднее арифметическое и дисперсию ряда
чисел:16,5;21; 18,5; 25; 18,5; 17; 19,5; 21.